Geçtiğimiz ay Sağlık Bakanlığı tarafından açıklanan sayıların bir sonucu olarak zorunlu aşı gündemdeydi (Türkiye’de kızamık aşısını reddeden insanların sayısı 2011’de 183, 2013’te 980, 2015’te 5400, 2016’da 12000 civarı iken geçen sene 23000 idi. Meltem Özgenç, Hürriyet gazetesi, 30 Mart 2018). Bu yazıda basit bir matematiksel modellemesini yaparak, salgın hastalıkların aşı ile nasıl kolaylıkla engellenebileceğini size göstermeye çalışacağım.

Dedikodu
Günlük hayattan bir örnekle başlayalım. Diyelim ki bir arkadaşınız size çok çarpıcı bir dedikodu anlattı ve siz de sadece bir kişiye bundan bahsedeceğiniz konusunda söz verdiniz.Sonuçta bir kişiden ne zarar gelecek, değil mi? Ama sizin anlattığınız kişi de böyle bir istekte bulunursa ve bu zincir devam ederse, bir ay sonunda siz dahil \(1+1+ \dots +1 = 31\) kişiye yayılmış olacak bu konuşma.

Şimdi karşılaştırma yapmak için bu sefer iki kişi izniniz olsun. Ne kadar büyük bir fark olabilir ki? Siz iki kişiye anlatacaksınız, o iki kişi dört yeni kişiye anlatacak, dördü sekiz yeniye derken bir ay sonunda fısıldaşmalarınız \(1+2+2^2+2^3+\dots +2^{30} =2^{31}-1 =2.147.483.647\) (~ 2 milyar) kişiye yayılmış olacak, ki bu da dünya nüfusunun (~ 7,6 milyar) çeyreğinden fazla!

Peki ne değişti de başlangıçtaki bu küçük fark -bir yerine iki kişiye anlatmak- muazzam sonuçlara neden oldu? Cevap, sistemdeki büyüme hızını belirleyen fonksiyon tiplerinde yatıyor: İlk fonksiyon tipi lineer iken son durumda eksponansiyel (üstel) davranıyor. Yani, değişim hızı birincisinde sabit kaldığı halde diğerinde geometrik bir büyüme gösteriyor.

Bulaşıcı Hastalıkların Basit Bir Modeli
Bulaşıcı hastalıkların yayılışı da dedikodu gibi: Biri kişi bir hastalığa yakalanıyor ve bir başkasına bulaştırıyor. Yukarıdaki örnekte de gördüğümüz gibi, küçük bir değişim oranı bile -bir yerine iki kişiyi etkileme- geniş çaplı bir etkilenmeye sebep olabiliyor. Epidemiyolojistler (Epidemiyoloji: bir toplumdaki hastalıkların görülme sıklığını ve onun nedenlerini inceleyen bilim dalı) bulaşıcı hastalıkların bir felakete dönüşmesini engellemek için biyolojik, çevresel ve sosyal faktörleri göz önünde bulundurarak basit bir modelle bulaşıcı hastalıkların yayılmasında rol oynayan faktörleri özetlemeye çalışıyorlar. Nihai amaçları ise bu yayılmayı önleyebilecek bir çözüm geliştirmek. Birçok matematik modelinde olduğu gibi, temel özellikleri anlayabilmek icin karmaşık ve gözlemlenemeyen etkenler başlangıçta gözardı ediliyor.

“Temel çoğalma sayısı” (basic reproduction number) \(R_0\) diye adlandırılan parametre hastalığın karakteristiğini yansıtmaktadır. Bu, enfekte (hastalığa yakalanmış) birinin, hastalığı bulaştırıcı olduğu döneminde aşı olmamış ortalama kaç kişiye hastalığı bulaştıracağı sayısına karşılık gelir. \(R_0\)’ı belirleyen bazı etkenler: enfeksiyonun geçiş olasılığı, toplumdaki temas sıklığı, enfekte kişinin bulaştırıcı (enfeksiyöz) kalma süresi, toplumda bağışık olanların (aşı olanların) oranı. Altta birkaç hastalığın \(R_0\) değerleri verilmiştir (Kaynak: ‘History and Epidemiology of Global Smallpox Eradication’, Center for Disease Control, Ağustos 2014.):

\( \begin{align*} &\textbf{Hastalık} & &\mathbf{R_0} \\ &\text{Kızamık} & 12&-18 \\ &\text{Çiçek hastalığı} & 5&-7 \\ &\text{Çocuk felci} & 5&-7 \\ &\text{Kabakulak} & 4&-7 \\ &\text{Grip} & 2&-3 \\ & & &  \end{align*}\)

Dikkat ederseniz, yukarıda listelenen hastalıkların \(R_0\) sayıları hep 1’den büyük ve bu nedenle bu hastalıklar tehlikeli. Çünkü, \(R_0\) değeri 2 olan dedikodu örneğindeki gibi, bu hastalıklara yakalanmış insan sayısı eksponansiyel artacak ve hastalık çok büyük kitlelere ulaşabilecek. Eğer hastalıkların \(R_0\) sayıları 1’den küçük olsaydı, hastalık bir süre sonra yok olurdu.

\(\mathbf{R_0}\) parametresini 1’den küçük yapabilir miyiz?
Evet! İşte aşı bu noktada devreye giriyor. Her aşıdaki başarı oranı değişken olmasına rağmen, farzedelim ki aşı bireye tam bağışıklık kazandırıyor (Yine modeli basitleştirmek için attığımız bir adım). Aşı, aşı olan kişiyi doğrudan etkiliyor olsa bile, bir süre sonra dolaylı olarak tüm topluma da yarar sağlıyor.

Aşılama, \(R_0\) parametresini 1’e indirerek hastalığın yayılımını lineer ve böylelikle kontrol edilebilir bir hale dönüştürüyor. Soru, bunu sağlamak için toplumda en az kaç kişi aşılanmalı?

Ufak bir senaryodan bahsedelim. Diyelim ki bir toplumda 1 hasta ve 10 sağlıklı ve aşılanmamış kişiler var ve grip salgınının \(R_0\) değeri de 2. Yani, herkese bulaşma ihtimalini olmasına rağmen ortalamada 10 kişiden 2’si hastalığa yakalanacak.

Diğer yandan, bu 10 kişiden 5’inin önceden aşı yaptırdığını düşünelim. Bu durumda kalan 5’in ortalama 1 (5×2/10) tanesi enfekte olacak. Demek ki, sadece %50 aşılanma oranı ile \(R_0\) istediğimiz gibi 1’e düştü.

Formül olarak genelleştirebiliriz;
\(T\): Enfeksiyonun yeni bulaşabileceği toplam insan sayısı,
\(A\): Toplumdaki aşılanmış insan sayısı,
\(\frac{A}{T}\): Toplumdaki aşılanmış insan oranı,
\(\frac{R_0}{T}\): Bulaşma ihtimali.

Toplumda aşılanmış insan olduğunda, yeni \(R_0\) değerinin 1 olmasını istiyoruz ki böylelikle salgın çok hızlı yayılmasın.

$$\frac{R_0}{T}(T-A)=1$$

Bunu \(\frac{A}{T}\)’ye göre düzenlediğimizde,

$$\frac{A}{T}=1-\frac{1}{R_0}$$

Demek oluyor ki eğer toplumdaki aşılı insan oranı \(\frac{A}{T}\),  \(1-\frac{1}{R_0}\) değerine eşitse, hasta bir insan ortalama olarak sadece bir kişiye bulaştırabiliyor. \(1-\frac{1}{R_0}\) , hastalığın büyümesini lineer yapan ve aradığımız sayı.

Kitle bağışıklığı
Toplumdaki aşılı insan sayısı, aşılı insan yüzdesini \(1-\frac{1}{R_0}\) değerine eşit yapacak kadar yeterli olduğunda bu toplum hastalığa karşı ‘kolektif’ bir bağışıklık oluşturuyor. Bu toplumsal bağışıklılık oranına “kitle bağışıklığı” (herd immunity) denmektedir. Buna ulaşabilmek için gerekli olan aşılanmış insan yüzdesine ise “kitle bağışıklığı eşiği” (herd immunity threshold, HIT) deniyor.

\( \begin{align*} &\textbf{Hastalık} & &\mathbf{R_0} & \mathbf{1}&\mathbf{-\frac{1}{R_0}} & &\textbf{HIT}\\ &\text{Kızamık} & 12&-18 & 1&-\frac{1}{12} & &\%92 \\ &\text{Çiçek hastalığı} & 5&-7 & 1&-\frac{1}{5} & &\%80 \\ &\text{Çocuk felci} & 5&-7 & 1&-\frac{1}{5} & &\%80 \\ &\text{Kabakulak} & 4&-7 & 1&-\frac{1}{4} & &\%75 \\ &\text{Grip} & 2&-3 & 1&-\frac{1}{2} & &\%50 \\ & & & & & &  &\end{align*}\)

Tablodan rahatlıkla anlaşıldığı gibi, kızamık salgınını engellemek için toplumun %90’ından fazlasının aşı olması gerekmektedir!

Hazırlayan: Zeynep Kahraman
Düzenleyen: Kübra Gülmez Karaca

Kaynaklar:
Görsel kjpargeter/Freepik tarafından tasarlanmıştır.
https://www.quantamagazine.org/flu-vaccines-and-the-math-of-herd-immunity-20180205/
‘Enfeksiyon Hastalıkları Epidemiyolojisi’, Önder Ergönül, Okmeydanı Tıp Dergisi, 2016.
https://www.quantamagazine.org/the-unforgiving-math-that-stops-epidemics-20171026/