Okuma süresi: 8 dk

Matematik çoğumuz için, bir türlü içimizin ısınamadığı, sınav öncesi kabusa dönüşen denklemler, formüller, havada uçuşan sembollerden oluşan korkulu bir rüyadan ibaret. Peki sizce pek çok gündelik araç ve gerecin işlemesini sağlayan ve çoğu zaman farkında olmadan kullandığımız bu bilim dalını neden bir türlü sevemiyoruz? Muhtemelen en büyük neden, matematiğin beyinlerimize gerçek hayat ve uygulamalardan kopuk halde şırıngalanmaya çalışılması! Öğretmenlerimizi kızdırmayalım, ama maalesef bu durum çoğu dünya ülkesinde ve eğitim sisteminde geçerli. Bu yazımızı okuyup, inanılmaz yaratıcı ve zevkli bir bilim dalı olan matematiğin günlük hayatımızda ne tür işlere yaradığını birkaç basit örnekle gördükten sonra umarız fikriniz biraz da olsun değişecektir. Yazımızda verdiğimiz tüm örnekler uygulamalı matematiğin bir alt dalı olan ve endüstri mühendisliğinin bel kemiği diye nitelendirebileceğimiz yöneylem araştırmasından esinlenilmiştir. “Yöneylem araştırması, gerçek hayat sistemlerinin matematiksel modellerle temsil edilmesi ve en iyi (optimum) çözümü bulmak için kurulan modellere sayısal yöntemler uygulanmasıdır [1, 2].” Yazımızın geri kalan kısmında “yöneylem araştırması” kısaca “yöneylem” olarak adlandırılmıştır.

 

Tatile çıkmadan yolumuzu hesaplamayı unutmayalım!

Farklı şehirlerde yaşayan arkadaş ve akrabalarınızın her birini ziyaret edip, tekrar yaşadığınız şehre döneceğiniz bir tatil planı hazırladığınızı varsayalım. Amacınız, listenizdeki tüm şehirlere sadece bir kez uğrayıp, katettiğiniz toplam yolu en aza indirgeyerek evinize sağ salim dönmek olsun. Bahsettiğimiz bu gezi planı, yöneylem alanında üzerinde en çok çalışılan konulardan birisi olan “seyyar satıcı problemi” (traveling salesman problem, TSP). Çözüm süresi ise, teorik olarak listemizdeki gezilecek şehir sayısına, pratikte ise hem şehir sayısına hem de şehirlerin birbirine olan uzaklığına bağlı. Katedeceğimiz en kısa yolu 50 şehir için hesaplamamız bundan 60 yıl kadar önce haftalarca sürerken, günümüzde on binlerce şehir için optimum sonucu hesaplamamız sadece birkaç saniyemizi alıyor! Bu sürenin kısalması tabii ki sadece bilgisayarların gitgide artan gücüne bağlı değil. 1766 yılında ilk kez Euler’in üzerinde çalıştığı, 1856’da Hamilton’un teoriye aktardığı bu problem, şu an dünya üzerinde milyonlarca kişi ve yazılım programı tarafından kullanılmakta ve gün be gün yeni çözüm teknikleri geliştirilmekte [3]. Günümüzde tam sayılı doğrusal programlama (mixed integer linear programming) teknikleri kullanılarak bu problemi var olan yazılım programlarıyla modelleyip (FICO-Xpress, Cplex, Gurobi, vb) optimal veya optimale yakın sonuçları çok kısa sürede hesaplamak mümkün [4].

 

Dantzig, Fulkerson, and Johnson 49-city tour, Newsweek, July 26, 1954. “Şekilde Newsweek dergisinin 1954 Temmuz’unda yayımladığı seyyar satıcı probleminden (TSP) bir alıntı görülüyor. Altyazıda, Washington D.C.’den yola çıkılarak Birleşik Amerika haritasında işaretli diğer 48 eyalete uğrayıp yeniden Washington D.C’ye dönen en kısa yolun hesaplanmasından bahsediliyor. Eğer tüm olasılıkları hesaplayıp en iyisini seçmek istersek, toplamda 10^62 adet olasılığı göz önünde bulundurmamız gerekiyor! Haberde Rand. Corp. çalışan 3 ünlü matematikçinin (Dantzig, Fulkerson ve Johnson) doğrusal programlama tekniklerini kullanarak elle gerçekleştirdikleri bu hesabı sadece birkaç haftada tamamladıkları, ve optimal olan toplam 12345 millik turu buldukları anlatılıyor.”

 

Peki kargocular neden yorulsun?

Seyyar satıcı problemine benzer bir problem, dünyaca ünlü “araç rotalama problemi” (vehicle routing problem, VRP) [5]. Araç rotalamada amaç bir veya birçok depodan, konumları belli müşterilere yük taşımak için kullanılan, kapasitesi kısıtlı bir veya birden çok araca en uygun, en kısa rotaların bulunması. TSP’yi andıran ‘belli bir müşteriye sadece bir kez uğranabilir’, ‘depodan yola çıkan aracın tekrar depoya dönmesi gerekir’ türü kısıtların yanı sıra, VRP’ye özel daha karmaşık lojistik kısıtlar modellenebilir. Yani VRP’de veriler ve yol olasılıkları TSP’ye nazaran çok daha karmaşık olabilir. Özellikle lojistik firmalarının müşterilerine dağıtım planlaması yaparken kullandıkları yazılım programlarının arkasında VRP matematiksel modelleri işliyor!

Ben bakkala nasıl gideceğim?

Eğer pek çok noktaya değil de bulunduğumuz konumdan tek bir noktaya en hızlı şekilde gitmek istiyorsak, “en kısa yol problemi” (shortest path problem, SPP) imdadımıza yetişiyor [6]. Google maps (haritalar) veya GPS (Küresel Konum Belirleme Sistemi) bu hesabı bizim için basitçe yapabiliyor. Tabii ki bu programların arkasında yine matematiksel modeller ve konumumuzu eşzamanlı hesaplayan uydularla iletişim teknolojileri var!

Yukarıda bahsettiğimiz üç ünlü problemin (TSP, VRP ve SPP) modellenmesinde kriter olarak sadece katedilen yol değil, yol masrafları veya geçen zaman da baz alınabilir. Farklı kriterler altında elde edilen sonuçlar birbirinden çok farklı olabilir.

Yöneylemle hayat düzeni kurmak: Tekstil, enerji, zaman çizelgesi, yerleşim planı, tarım, ulaşım planlama…

Yöneylem hayal edemeyeceğiniz kadar çok alanda çözüm kolaylıkları sunuyor ve pek çok firma ve araştırma merkezi bünyesinde matematiksel modeller ve yazılım programları geliştiren mühendisler çalıştırıyor. Mesela tekstil sektöründe, giysilerin kumaşlardan istediğimiz boyutlarda kesimi esnasında çöpe giden kumaş miktarını en aza indirme programları yazılıyor (Cutting stock problem). Hatta aynı programlar kâğıt sektöründe de kullanılıyor: farklı boyutlarda kâğıtlar büyük rulolardan optimal kesim şemaları hesaplandıktan sonra kesiliyor. Elektrik santrallerinin enerji planlarının hesabı esnasında da tam sayılı doğrusal programlama modelleri kullanılıyor. Nükleer, hidroelektrik, termik, rüzgâr, güneş, vs. enerji kaynaklarından hangilerinin ne kadar süre çalıştırılıp ne zaman bakım onarımlarının yapılması gerektiğinin bulunması da üzerinde çalışılan ilginç bir problem. Tren çizelgelerinin veya okul/üniversitelerde ders çizelgelerinin hazırlanması, uçuş planlarının dinamik şekilde hesaplanması, yük gemileri için konteyner yükleme planlarının bulunması, hastane, üniversite, süpermarket veya depolarda yerleşim planlarının çizilmesinde hep yöneylem karşımıza çıkıyor.

Gündelik yaşamınızdan örnekler verecek olursak:

– Evimizden taşınırken karton kutuları taşıma kamyonuna yüklemeyi nasıl optimize edip, hangi büyüklükteki kartonu hangisinin üzerine koymalıyız? (Bin packing problem)

– Kampa giderken belli kapasiteye sahip çantamızın içine her birinin belli hacmi, ağırlığı ve önemi olan eşyalardan hangilerini koymalıyız? (Knapsack problem)

– Haritalarda (dünya haritası, şehir planı veya üniversite yerleşke planı olabilir) komşu bölgeler farklı renklerde boyanacak şekilde en az kaç renk kullanmalıyız? (Graph coloring, map coloring)

– Sudoku oyununda sonucu hızlıca nasıl bulabiliriz? (Constraint programming)

– Büyük bir tarla veya bahçeyi ekip biçerken elimizdeki kısıtlı kaynakları (gübre, arazi, tohum miktarı gibi) göz önünde tutup, elde edilecek hasat ve getireceği kâr göz önüne alınarak tarlamıza neleri ekip biçebiliriz?

Yöneylem uygulamalarına dair daha yüzlerce örnek verebiliriz [2]. Günümüzde bu tür problemleri bilgisayarlarımıza basitçe yükleyebildiğimiz yazılım programlarıyla modelleyip çözmemiz mümkün. Bir sonraki yazımızda bu zevkli problemlerden birkaçını seçip, sizlere basit bir dille matematiksel modellemelerin nasıl yapılabileceğini ve optimal sonuca ulaşmamızı sağlayan çözüm aşamalarını anlatacağız. Umarız matematik korkunuz biraz olsun azalmıştır!

 

(Bana matematiği sevdiren ve hayatıma bu yolda yön veren lise hocam Yavuz Anaç’a sevgilerle…)

Yazar: Ayşe Akbalık

Editörler: Güney Akbalık, Tuğba Öztürk, Bilge San, Arzu Uyar

 

Kaynaklar

[1] Y. İlker Topcu, Özgür Kabak. “Yöneylem araştırması-1 Ders notları”, İstanbul Teknik Üniversitesi OR/MS takımı, 2015. 5 Mayıs 2019 tarihinde şu bağlantıdan alınmıştır: https://web.itu.edu.tr/topcuil/ya/END331.pdf.

[2] H.A. Taha, “Yöneylem Araştırması” (6. Basımdan Çeviri). Literatür yayıncılık. Çeviren ve uyarlayanlar: S. Alp Baray, Şakir Esnaf, 2015.

[3] Laporte, G. “A Short History of the Traveling Salesman Problem”, 2006. Internet erişimi: http://neumann.hec.ca/chairedistributique/common/laporte-short.pdf.

[4] B. Meindl and M. Templ, “Analysis of commercial and free and open source solvers for linear optimization problems”. Technical Report Forschungsbericht CS-2012-1M. Vienna University of Technology, March 2012. Internet erişimi: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.455.3926&rep=rep1&type=pdf

[5] J.-F. Cordeau, G. Laporte, M. W. P. Savelsbergh, and D. Vigo, “Chapter 6 Vehicle Routing,” Handbooks in Operations Research and Management Science, vol. 14, pp. 367–428, Jan. 2007, DOI: 10.1016/S0927-0507(06)14006-2. Internet erişimi: http://dis.unal.edu.co/~gjhernandezp/TOS/ROUTING/VRP1.pdf

[6] N. Deo and C. Y. Pang, “Shortest‐path algorithms: Taxonomy and annotation,” Networks, vol. 14, no. 2, pp. 275–323, Jun. 1984.

 

Görsel kaynaklar

Yürütmekte olduğu bir projenin matematiksel modeli ve örnek şeması Ayşe Akbalık tarafından çizilerek, epiSTEM Türkiye için özel olarak hazırlanmıştır.

Dantzig, Fulkerson, and Johnson 49-city tour, Newsweek, July 26, 1954. İnternet erişimi: http://www.math.uwaterloo.ca/tsp/us/history.html