Okuma süresi: 5 dk

Bu yazı dizisine başlarken bir sistemin ne kadar düzensiz olduğunu anlayabilmek için önce o sistemin fiziksel durumunu matematiksel olarak tarif etmek gerektiğini söylemiş ve bunu olasılık dağılımları kullanarak nasıl yapabileceğimizi göstermeyi denemiştik [1]. Dizinin ikinci yazısında ise entropi ve majorizasyon gibi bazı düzensizlik ölçütlerinin tanıtılacağının haberini vermiştik. Affınıza sığınarak bu tanıtımı şimdilik üçüncü yazıya ertelemek ve onun yerine düzensizlik ve olasılık dağılımları üzerinde biraz daha durmak istiyoruz.



Şekil 1: 60 özdeş kırmızı noktanın aynı alan içindeki olası 3 farklı dağılımı (A,B,C) ve örnek bir düzen(sizlik) bağlamı olarak 45 özdeş dikdörtgenden oluşan bir ızgara (D) [2].

Sizce Şekil 1’de A, B ve C olarak adlandırılan 3 farklı dağılımdan en düzenli ve en düzensiz olanları hangileri? İlk bakışta en düzenli dağılım A olarak görünüyor, değil mi? Peki en düzensiz dağılım B mi, C mi? Karar verebildiniz mi?

Elimizde bu 60 özdeş noktadan oluşan sistem hakkında daha fazla bilgi olmadan aslında bu 3 uzamsal dağılımdan herhangi birinin diğerinden daha düzenli/düzensiz olduğunu söyleyemeyiz. Sistemin durumunu bir olasılık dağılımı ile tarif edebilmek için bir bağlama ihtiyacımız var.

Şekil 1’de D ile gösterilen özdeş dikdörtgenlerden oluşan ızgara bu anlamda bir bağlam olarak kullanılabilir. Rastgele seçilen bir noktanın

  • herhangi bir dikdörtgenin köşesinde olma olasılığı pV,
  • herhangi bir dikdörtgenin kenarında olma olasılığı pE,
  • herhangi bir dikdörtgenin içinde olma olasılığı pI,
  • hiçbir dikdörtgenin içinde olmama olasılığı pO

olsun (*). Noktaların herhangi bir uzamsal dağılımını bunun ardından şu şekilde tarif edebiliriz:

p(X) = (pV, pE, pI, pO) .

Buna göre A olarak adlandırılan olasılık dağılımı azami düzene (ya da eşdeğer ifadeyle asgari düzensizliğe) karşılık gelir (Şekil 2):

p(A) = (60/60, 0/60, 0/60, 0/60) = (1, 0, 0, 0) .

B ve C’nin olasılık dağılımları ise Şekil 2’deki kırmızı, turuncu, yeşil ve mavi noktalar teker teker sayılarak şu şekilde bulunur:

p(B) = (0/60, 12/60, 40/60, 8/60) ,

p(C) = (2/60, 10/60, 30/60, 18/60) .



Şekil 2: Şekil 1’deki A,B ve C uzamsal dağılımlarının 45 özdeş dikdörtgenden oluşan D ızgarası üzerine yerleştirilmiş hali [2]. Olasılık hesaplarını kolaylaştırmak için herhangi bir dikdörtgenin köşesinde olan noktalar kırmızı, herhangi bir dikdörtgenin kenarında olan noktalar turuncu, herhangi bir dikdörtgenin içinde olan noktalar yeşil, bunların dışındaki noktalar ise mavi renkle gösterildi.

Bir sonraki yazıda göreceğiz ki p(A), p(B) ve p(C) olasılık dağılımlarının tarif ettikleri düzensizlik miktarları entropi cinsinden sırasıyla 0, 1.24 ve 1.62 olacak (**). Yani en düzenli dağılım A iken, en düzensiz dağılım C bulunacak. Fakat Şekil 1’deki D bağlamından başka bir bağlama geçtiğimizde bu sıralama baştan sona değişebilir.


Şekil 3: Ünlü besteci Ludwig van Beethoven’in “Für Elise” adlı bestesinin [3] açılış notaları üzerine Şekil 1’deki B dağılımı yerleştirilmiş hali [2].


Şekil 3’de görüldüğü gibi B dağılımı D ızgarası yerine boş bir porte kağıdına yerleştirildiğinde ortaya 1810 yılında bestelenip, 1867 yılında yayınlanan ve o zamandan beri dünyanın en bilindik müziklerinden birisi olan Für Elise’nin açılışı çıkıyor. Benzer bir şekilde C dağılımı 1945 yılında Picasso’nun yaptığı meşhur boğa soyutlaması Le Taureau’nın altıncı tasvirinin kaba hatlarını veriyor (Şekil 4).


Şekil 4: Ünlü ressam Pablo Picasso’nun “Le Taureau” adlı taş baskısının [4] altıncı aşaması üzerine Şekil 1’deki C dağılımı yerleştirilmiş hali [2].


A uzamsal dağılımı D ızgarası bağlamında gösterdiği azami düzen özelliğini Beethoven’in notaları bağlamında B dağılımına, Picasso’nun çizgileri bağlamında ise C dağılımına bırakacak.

D ızgarasının Für Elise’den ya da Le Taureau’dan daha yüksek bir düzen ifade ettiğini söyleyemeyiz. Bu yüzden A, B ve C gibi ilk bakışta düzensizlikleri karşılaştırılabilir görünen farklı durumları bağlamdan bağımsız bir şekilde ele alamayız. Bağlam olmadan olasılıklar, olasılıklar olmadan da düzensizlik tanımlanamaz.

Bilimle kalın efendim,

Yazar: Onur Pusuluk
Editörler: Burcu Erdoğan, Güney Akbalık, Bilge San

(*) pV, pE, pI ve pO’da olduğu gibi olasılık çoğu zaman İngilizce karşılığı olan “probability” kelimesinin baş harfine gönderme yaparak “p” ile gösterilir. Bir de yeri gelmişken hatırlatalım, olasılık her zaman 0 ve 1 arasında bir sayı olmalı. Toplam olasılıksa korunmalı: pV + pE + pI + pO = 1.
(**) Bu yazı dizisindeki bir sonraki yazının başlığının Düzensizliği ölçmek – III: Entropi olması planlanıyor.

Kaynakça:

[1]Düzensizliği Ölçmek – I: Olasılık Dağılımları” başlıklı bu yazıya aşağıdaki bağlantıdan ulaşabilirsiniz:

Düzensizliği Ölçmek – I: Olasılık Dağılımları

[2] Görsek kaynaklar: Onur Pusuluk.

[3] Parçanın piyano versiyonunu buradan dinleyebilirsiniz:

[4] Çizimin tüm aşamalarına buradan bakabilirsiniz:

http://mourlot.free.fr/english/fmtaureau.html