Canlıların ortak özellikleri arasına cansız çevreleriyle karşılaştırıldıklarında gösterdikleri ileri düzeydeki atomik, moleküler ve hücresel düzeni de ekleyebiliriz. Fakat fizik kanunları canlılar ve cansızlar arasında hiçbir ayrım yapmaz. Bu bağlamda termodinamiğin ikinci yasasını özellikle anmak gerekiyor. Toplam düzensizliğin her zaman artacağını öngören bu yasanın hüküm sürdüğü bir ortamda düzeni korumak hiç de kolay değildir: moleküller dağılıp yıkılma, hücreler ise yaşlanıp ölme eğilimindedir ve canlılar hayatta kalmak için onların yerine yenilerini koymak zorundadırlar. Bunun için de enerji harcamalı ve kendi içlerinde yeniden kurdukları düzenden daha yüksek oranda bir düzensizliği çevrelerinde yaratmalıdırlar.

Düşünsenize, şu an akciğerlerinizden beyninize oksijen taşıyan kırmızı kan hücreleriniz en fazla iki ay hayatta kalabiliyor. Neyse ki aldığınız besinleri parçalayarak elde ettiğiniz enerji ve düzensizlik onlar öldüğünde yerlerine yenilerinin çoktan üretilmiş olması için yeterli. Fakat beyninizdeki sinir hücreleri (bildiğimiz kadarıyla) çoğalma özelliğine sahip değil. Bu yüzden siz hayatta kaldıkça onlar da canlılıklarını korumalı. Üstelik zihinsel yeteneklerinizi kaybetmemek için bu da yeterli değil. Sinir hücrelerinizin bir araya gelerek oluşturduğu karmaşık hücresel düzen de yerli yerinde olmalı. Tabii çevreden daha çok enerji alarak ve çevrede daha çok düzensizlik yaratarak…

Canlı bir organizma çevresiyle arasındaki düzen/düzensizlik dengesizliğini sonsuza kadar sürdüremez. Hem de çevresini genişletse ya da değiştirse bile! Termodinamiğin temel varsayımı olan “moleküler kaos”un [Not 1] kendi içine sızmasına artık karşı koyamadığı noktadan sonra hızla çevresiyle dengeye ulaşır: atom ve molekülleri arasında hiçbir ilinti kalmaz ve termodinamiğin ikinci yasasıyla uyumlu olarak yaşamını yitirmiş olur.
Anlayacağınız, düzensizliği ölçmek – en azından bir bilim insanı için – bir ölüm kalım meselesi kadar önemli olabilir. Fakat bu sizi yazının devamını okumaya ikna etmediyse, lütfen önce Not 2’ye bir göz atın.

Moleküler ve atomik düzensizliklerin matematiksel temsili

Bir sistemdeki düzensizliği ölçebilmek için önce o sistemin fiziksel durumunu matematiksel olarak tarif edebilmemiz gerekiyor. Bunun için en sık kullanılan araçlardan bir tanesi “olasılık dağılımı”. Bu yazının geri kalan kısmını sadece buna ayıracağız: tasviri canlı sistemlerden daha basit, ama yaşam için önemi tartışılmaz olan su molekülünü (H2O) örnek göstererek, düzensizlikten olasılıksal olarak ne kastettiğimizi ve düzensizliği ne pahasına azaltabileceğimizi anla(t)mayı deneyeceğiz.

Gelin ilk olarak suyun moleküler yapısına biraz yakından bakalım. Bir su molekülü, kovalent bağ olarak adlandırılan kuvvetli kimyasal bağlar aracılığıyla iki tane hidrojen (H) atomu ile bir tane oksijen (O) atomunun bir araya gelmesinden oluşur. Hidrojen ve oksijen atomlarının sırasıyla beyaz ve kırmızı küreler, kovalent bağların ise birer küçük siyah çubuk ile temsil edildiği Şekil 1’de 15 tane su molekülünden oluşmuş bir moleküler öbeğin tasvirini bulabilirsiniz. Gördüğünüz gibi, bu tasvirde su molekülleri arasında yer yer mavi kesikli çizgilerle resmedilmiş bazı etkileşimler var. Bu etkileşimler aslında hidrojen bağı adı verilen ve kovalent bağlardan görece daha zayıf olan kimyasal bağlar.



Şekil 1: Sıvı haldeki su molekülleri. Kırmızı küreler oksijen (O), beyaz kürelerse hidrojen (H) atomlarını gösteriyor. Farklı H2O moleküllerine ait oksijen ve hidrojen atomlarını birbirine bağlayan koyu mavi kesikli çizgiler hidrojen bağlarını temsil ediyor.

Tek bir su molekülü aynı anda en fazla 4 farklı su molekülü ile hidrojen bağı kurabilir. Fakat moleküllerin 0 °C’nin üzerindeki sıcaklıklarda sahip oldukları hareket enerjisi çoğu zaman bu bağların kırılması için yeterlidir. Bu sıcaklıklarda suyun katı değil de akışkan olması da aslında molekülleri arasındaki hidrojen bağlarının rahat bir şekilde kırılıp yeniden kurulabilmesi sayesindedir.

Bir su molekülü en fazla 4, en az 0 hidrojen bağı kurabileceği için, kendisine baktığımız bir anda görebileceğimiz 5 farklı durum var: etrafındaki diğer moleküller ile arasında

– hiç hidrojen bağı olmayabilir,
– sadece 1 hidrojen bağı olabilir,
– 2 hidrojen bağı olabilir,
– 3 hidrojen bağı olabilir,
– 4 hidrojen bağı olabilir.

Bu bağlamda, sabit bir T sıcaklığındaki suyun moleküler düzensizliğini, kabaca da olsa, rastgele seçtiğimiz bir su molekülünün sahip olacağı hidrojen bağı sayısının olasılık dağılımı “p” ile şu şekilde tarif edebiliriz [Not 3] :

p(T) = (p4, p3, p2, p1, p0) ,

Öyle ki, seçtiğimiz su molekülü p4 olasılığıyla 4, p3 olasılığıyla 3, p2 olasılığıyla 2, p1 olasılığıyla 1, p0 olasılığıyla 0 hidrojen bağına sahip olsun. Buna göre azami düzensizliğe karşılık gelen olasılık dağılımı şöyledir:

p(Tmax) = (1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5) .

Bu durumda her su molekülü ortalama 2 hidrojen bağına sahip olur: (4+3+2+1+0)/5 = 2. Oda sıcaklığı gibi daha düşük sıcaklıklarda, 20–25 °C arasında, bu sayı 3.4’e çıkar [Not 4]. Ortalama 3.4 hidrojen bağını mesela

p(Toda; 1) = (3/5, 1/5, 1/5, 0, 0)

ya da

p(Toda; 2) = (2/5, 3/5, 0, 0, 0)

gibi bir dağılımdan elde edebiliriz. Bu her iki dağılım da p(Tmax)’tan daha az düzensiz birer durumu tarif eder: genel olarak hidrojen bağı sayısıyla ilgili rastgelelik azalmış ve tahmin edilebilirlik artmıştır. Su T = 0 °C sıcaklığına soğutulduğunda ise sıvı halden katı hale geçişin bir göstergesi olarak moleküler düzensizlik yerini Şekil 2’de kısmen betimlenen ve aslında her molekülün 4 tane hidrojen bağı yaptığı azami düzene bırakır:

p(Tbuz) = (1, 0, 0, 0, 0) .


Şekil 2: Hekzagonal su buzundaki bir birim hücrenin sadece bir yüzeyinde bulunan 6 su molekülü. Moleküler yapının tamamını her bir yüzeyin sandal ya da sandalye şeklinde katlanarak birbirine bağlandığı üç boyutlu bir kristal olarak hayal edebilirsiniz. Bu üç boyutlu yapıda her bir su molekülü 4 farklı su molekülü ile hidrojen bağı yapacaktır.

Bu noktadan sonra bütün oksijen atomlarının mevcut konumlarında donduğunu düşünebilirsiniz. Fakat onlardan çok daha küçük bir kütlesi olan hidrojen atomları çok düşük sıcaklıklara kadar bir molekülden diğerine hidrojen bağları üzerinden hoplayabilir. Bu yüzden su buzunun içinden rastgele seçilen bir su molekülü Şekil 3’te gösterilen 6 farklı bağlanma durumundan herhangi birinde bulunabilir. Yani moleküler ölçekten atomik ölçeğe geçtiğimizde başka bir düzensizlik seviyesi ile karşılaşırız.

Bu atomik düzensizliği de, öncekine benzer bir yol izleyerek, rastgele seçilen bir molekülün Şekil 3’teki durumlarda olma olasılığının dağılımı “q” ile tarif edebiliriz:

q(T) = (q1, q2, q3, q4, q5, q6)

T = 0 °C sıcaklığında molekülün her bir durumda bulunma olasılığı birbirine eşit olduğu için atomik düzensizlik azamidir:

q(0 °C) = (1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6) .

Sıcaklık daha düşük değerlere indikçe atomik düzensizlik de azalır. Öyle ki, –200 °C’nin biraz altında bütün moleküller olası durumların sadece bir tanesinde, mesela birincisinde [Not 5], bulunurlar:

q(-200 °C) = (1, 0, 0, 0, 0, 0) .


Şekil 3: 4 tane hidrojen bağı (mavi kesikli çizgiler) yapan bir su molekülünün olası bağlanma durumları. Sadelik adına bu merkezi molekülün dışındaki diğer su moleküllerinin bütün hidrojen atomları (beyaz küreler) resme dâhil edilmemiştir.

Böylece aşırı soğutulan su molekülleri arasında moleküler düzenin ardından, atomik düzene de ulaşılmış olur. Buzdolabınız bu kadar büyük miktarda enerji harcasaydı elektrik faturanız ne kadar yüksek olurdu, düşünsenize. Tahmin edebileceğiniz gibi suda bu şekilde bir düzen yaratmanın maliyeti oldukça yüksek. Fakat canlı hücreler içlerindeki küçük su öbekleri üzerinde, üstelik de vücut sıcaklığında, bahsi geçen atomik ve/veya moleküler düzenleri gerçekleştirebiliyor [Not 6] Sonra da su molekülleri arasındaki düzeni bozup, oluşan düzensizliğin gölgesinde kendi içinde başka bir atomik ve/veya moleküler düzen kurabiliyor.

Daha fazla matematik

Bir sonraki epiSTEM yazımda size entropi ve majorizasyon gibi bazı düzensizlik ölçütlerini tanıtmayı planlıyorum [Not 7]. Onun ardından burada anlatılan düzensizliğin olasılık dağılımı ile tarifi de ete kemiğe bürünmüş olacak. Göreceğiz ki p(Tmax), p(Tmaxoda; 1) ve p(Toda; 2) olasılık dağılımlarının tarif ettikleri düzensizlik miktarları entropi cinsinden sırasıyla 2.32, 1.37 ve 0.97 olacak. Bu dağılımlar arasındaki majorizasyon ilişkilerini kullanarak da birbirleri arasındaki geçişlerin mümkün olup olmadığını inceleyeceğiz. Fakat şimdilik burada durup, biraz dinlenelim.

Bilimle kalın efendim,

Yazan: Onur Pusuluk
Düzelten: Özge Yoluk, Bilge San

Notlar:

[1] Yazıda “moleküler kaos”tan kastedilenin ne olduğunu daha iyi anlamak için aşağıdaki bağlantıya, özellikle de orada verilen son paragrafa bakabilirsiniz:

https://en.wikipedia.org/wiki/Molecular_chaos

[2] Kabaca özetlemeyi denediğim, düzensizliğin bizleri bekleyen kaçınılmaz sonda oynadığı belirleyici rol, onu matematiksel olarak ölçmemiz gerektiği konusunda herkesi yeterince ikna etmemiş olabilir. Fakat sizi temin ederim ki termodinamiğin ikinci yasası sadece biyolojide hüküm sürmez: fizik ve kimyadan, makine ve haberleşme mühendisliğine, hatta ekonomiye kadar bildiğimiz her yerde geçerlidir. Bizler için önemli birçok hesap düzensizliğin ölçülmesini gerektirir. Benim aklıma ilk gelenler şunlar:

– mutfakta kullandığınız su ısıtıcısının, buzdolabının ya da her gün evden işe gitmek için bindiğiniz motorlu aracın azami enerji verimi,
– bilgisayarınızda sakladığınız dosyaların, internete yüklediğiniz videoların ve cep telefonunuzdan gönderdiğiniz mesajların azami ne kadar sıkıştırılabileceği,
– bir ülkenin gelir dağılımındaki eşitsizliğin ve buna dayanarak ülkelerin refah seviyelerinin karşılaştırılması.

Belki bir başka yazıda bunları da ele alabiliriz.

[3] Tabii bu sıcaklık 100 °C’nin altında bulunan belli bir üst limitten küçük olmalı. Çünkü moleküllerin (ısıl) hareket enerjilerinin aralarındaki hidrojen bağlarının enerjisinden çok daha büyük olduğu sıcaklıklarda düzensizliği hidrojen bağı sayısı üzerinden tanımlayamayız. Unutmayın ki su 100 °C’ye ısıtıldığında bütün hidrojen bağları kırılacağı için bir anlamda sıvı halden gaz hale geçilmiş olacak.

[4] Bu sayı neredeyse bütün biyokimya ve biyofizik kitaplarında suyun yapısı anlatılırken karşınıza çıkabilir. Fakat ilk kaynağın ne olduğunu maalesef şu anda ben de bilmiyorum.

[5] Moleküller –200 °C’nin altında tünelleme adı verilen bir kuantum mekaniksel olgu yüzünden Şekil 3’teki birinci durumdan bir diğerine, mesela ikinci duruma geçebilirler. Fakat bu, bir ölçüm yaptığımızda hepsinin aynı durumda bulunacağı gerçeğini değiştirmez. Dolayısıyla moleküllerin düzeni/düzensizliği değişmez.

[6] Canlı hücrelerin içinde bulunan “hapsedilmiş su” (“confined water”) bildiğimiz sıvı haldeki sudan birçok açıdan farklıdır ve bazen atomik ve moleküler düzen gibi su buzuna özgü olan bazı özellikleri gösterebilir. Aşağıdaki iki bağlantıdan sırasıyla hücrenin içindeki su ve (genel olarak) hapsedilmiş su ile ilgili daha fazla bilgi bulabilirsiniz:

http://www1.lsbu.ac.uk/water/intracellular_water.html

http://www1.lsbu.ac.uk/water/confined_water.html

[7] Bu yazı dizisinde ikinci yazının başlığının Düzensizliği ölçmek – II: Entropi, Majorizasyon ve Lorenz Eğrisi olması planlanıyor.