Kategori: Matematik

Bu yazı dizisine başlarken bir sistemin ne kadar düzensiz olduğunu anlayabilmek için önce o sistemin fiziksel durumunu matematiksel olarak tarif etmek gerektiğini söylemiş ve bunu olasılık dağılımları kullanarak nasıl yapabileceğimizi göstermeyi denemiştik [1]. Dizinin ikinci yazısında ise entropi ve majorizasyon gibi bazı düzensizlik ölçütlerinin tanıtılacağının haberini vermiştik. Affınıza sığınarak bu tanıtımı şimdilik üçüncü yazıya ertelemek ve onun yerine düzensizlik ve olasılık dağılımları üzerinde biraz daha durmak istiyoruz.



Şekil 1: 60 özdeş kırmızı noktanın aynı alan içindeki olası 3 farklı dağılımı (A,B,C) ve örnek bir düzen(sizlik) bağlamı olarak 45 özdeş dikdörtgenden oluşan bir ızgara (D) [2].

Sizce Şekil 1’de A, B ve C olarak adlandırılan 3 farklı dağılımdan en düzenli ve en düzensiz olanları hangileri? İlk bakışta en düzenli dağılım A olarak görünüyor, değil mi? Peki en düzensiz dağılım B mi, C mi? Karar verebildiniz mi?

Elimizde bu 60 özdeş noktadan oluşan sistem hakkında daha fazla bilgi olmadan aslında bu 3 uzamsal dağılımdan herhangi birinin diğerinden daha düzenli/düzensiz olduğunu söyleyemeyiz. Sistemin durumunu bir olasılık dağılımı ile tarif edebilmek için bir bağlama ihtiyacımız var.

Şekil 1’de D ile gösterilen özdeş dikdörtgenlerden oluşan ızgara bu anlamda bir bağlam olarak kullanılabilir. Rastgele seçilen bir noktanın

  • herhangi bir dikdörtgenin köşesinde olma olasılığı pV,
  • herhangi bir dikdörtgenin kenarında olma olasılığı pE,
  • herhangi bir dikdörtgenin içinde olma olasılığı pI,
  • hiçbir dikdörtgenin içinde olmama olasılığı pO

olsun (*). Noktaların herhangi bir uzamsal dağılımını bunun ardından şu şekilde tarif edebiliriz:

p(X) = (pV, pE, pI, pO) .

Buna göre A olarak adlandırılan olasılık dağılımı azami düzene (ya da eşdeğer ifadeyle asgari düzensizliğe) karşılık gelir (Şekil 2):

p(A) = (60/60, 0/60, 0/60, 0/60) = (1, 0, 0, 0) .

B ve C’nin olasılık dağılımları ise Şekil 2’deki kırmızı, turuncu, yeşil ve mavi noktalar teker teker sayılarak şu şekilde bulunur:

p(B) = (0/60, 12/60, 40/60, 8/60) ,

p(C) = (2/60, 10/60, 30/60, 18/60) .



Şekil 2: Şekil 1’deki A,B ve C uzamsal dağılımlarının 45 özdeş dikdörtgenden oluşan D ızgarası üzerine yerleştirilmiş hali [2]. Olasılık hesaplarını kolaylaştırmak için herhangi bir dikdörtgenin köşesinde olan noktalar kırmızı, herhangi bir dikdörtgenin kenarında olan noktalar turuncu, herhangi bir dikdörtgenin içinde olan noktalar yeşil, bunların dışındaki noktalar ise mavi renkle gösterildi.

Bir sonraki yazıda göreceğiz ki p(A), p(B) ve p(C) olasılık dağılımlarının tarif ettikleri düzensizlik miktarları entropi cinsinden sırasıyla 0, 1.24 ve 1.62 olacak (**). Yani en düzenli dağılım A iken, en düzensiz dağılım C bulunacak. Fakat Şekil 1’deki D bağlamından başka bir bağlama geçtiğimizde bu sıralama baştan sona değişebilir.


Şekil 3: Ünlü besteci Ludwig van Beethoven'in “Für Elise” adlı bestesinin [3] açılış notaları üzerine Şekil 1’deki B dağılımı yerleştirilmiş hali [2].


Şekil 3’de görüldüğü gibi B dağılımı D ızgarası yerine boş bir porte kağıdına yerleştirildiğinde ortaya 1810 yılında bestelenip, 1867 yılında yayınlanan ve o zamandan beri dünyanın en bilindik müziklerinden birisi olan Für Elise’nin açılışı çıkıyor. Benzer bir şekilde C dağılımı 1945 yılında Picasso’nun yaptığı meşhur boğa soyutlaması Le Taureau’nın altıncı tasvirinin kaba hatlarını veriyor (Şekil 4).


Şekil 4: Ünlü ressam Pablo Picasso'nun “Le Taureau” adlı taş baskısının [4] altıncı aşaması üzerine Şekil 1’deki C dağılımı yerleştirilmiş hali [2].


A uzamsal dağılımı D ızgarası bağlamında gösterdiği azami düzen özelliğini Beethoven’in notaları bağlamında B dağılımına, Picasso’nun çizgileri bağlamında ise C dağılımına bırakacak.

D ızgarasının Für Elise’den ya da Le Taureau’dan daha yüksek bir düzen ifade ettiğini söyleyemeyiz. Bu yüzden A, B ve C gibi ilk bakışta düzensizlikleri karşılaştırılabilir görünen farklı durumları bağlamdan bağımsız bir şekilde ele alamayız. Bağlam olmadan olasılıklar, olasılıklar olmadan da düzensizlik tanımlanamaz.

Bilimle kalın efendim,

Yazar: Onur Pusuluk
Editörler: Burcu Erdoğan, Güney Akbalık, Bilge San

(*) pV, pE, pI ve pO’da olduğu gibi olasılık çoğu zaman İngilizce karşılığı olan “probability” kelimesinin baş harfine gönderme yaparak “p” ile gösterilir. Bir de yeri gelmişken hatırlatalım, olasılık her zaman 0 ve 1 arasında bir sayı olmalı. Toplam olasılıksa korunmalı: pV + pE + pI + pO = 1.
(**) Bu yazı dizisindeki bir sonraki yazının başlığının Düzensizliği ölçmek – III: Entropi olması planlanıyor.

Kaynakça:

[1]Düzensizliği Ölçmek – I: Olasılık Dağılımları” başlıklı bu yazıya aşağıdaki bağlantıdan ulaşabilirsiniz:

https://epistemturkiye.org/duzensizligi-olcmek-i-olasilik-dagilimlari/

[2] Görsek kaynaklar: Onur Pusuluk.

[3] Parçanın piyano versiyonunu buradan dinleyebilirsiniz:

https://www.youtube.com/watch?v=_mVW8tgGY_w

[4] Çizimin tüm aşamalarına buradan bakabilirsiniz:

http://mourlot.free.fr/english/fmtaureau.html

Bizden Haberler

Bitkilerin Tedavi Etme Gücü Var Mıdır?

02/07/2021
Bitkilerin tedavi etme gücü var mıdır? Başka bir deyişle şifalı bitki kavramı gerçek mi, yoksa safsata mıdır? Pek çok kişinin bu konuya bakışı, “fala inanma, falsız da kalma” yaklaşımına paraleldir. Şifalı bitki reçeteleri pek de umut etmeden denenir; etki görülürse ne ala ama herhangi bir fayda elde edilmemesinin de kuvvetle muhtemel olduğu bilinir. Öncelikle şunu […]

Boya Kullanmadan Resim Yapmak Mümkün Mü?

01/26/2021
Ressamlar, boyarmaddeleri kullanarak, doğadaki varlıkların suretlerini/görünüşlerini binyıllardır katı yüzeylere aktarıyorlar. Ancak ilginçtir, doğal varlıklara rengini veren fiziksel olaylar çok farklı olabiliyor. Misal, bir havuca rengini veren olay pigment moleküllerinin gelen ışığı kısmi olarak soğurması iken; bir kelebeğe rengini veren, pigmentlerin yanı sıra kanatlarının mikro ve nano ölçekteki geometrik yapısı aynı zamanda. Kyoto Üniversitesi’nden M. Ito, […]
Bağ dokusu fibroblast hücreleri. Çekirdek mavi, mitokondri yeşil ve hücre iskeletini oluşturan aktin proteinleri kırmızıyla gösterilmiştir.

Dinamik Hücre Davranışlarını Düzenleyen Bir Sensör: Hücre Çekirdeği

12/15/2020
Hücreler, hücre iskeleti olarak da bilinen ve aktomiyozin protein kompleksinden oluşan mikrofilamentler sayesinde, maruz kaldıkları fiziksel, kimyasal ve mekanik uyarılara tepki verirler. Hücre iskeleti dinamik bir yapıdır. Hücreler, bu yapının parçalarından olan ve miyozin II denilen motor proteinlerin etkinliğiyle, çevreden gelen tepkilere bağlı olarak kasılıp gevşeyerek göç ederler. Hücre göçü, embriyo gelişimi, doku yenilenmesi ve […]

Her yaşlının yoğurt yiyişi farklı: Yaşlandıkça gen ifadeleri bireyler arasında farklılaşıyor

12/04/2020
Yaşlanma, yani canlıların yaşı ilerledikçe hastalık ve ölüm riskinin artışı… Bu durum, hepimizin aşina olduğu, belki doğal ve kaçınılmaz saydığı bir olgu. Ancak yaşlanma süreci yine de şaşırtıcı derecede bilinmeyenlerle dolu! Örneğin, yaşlanmayan bazı bitki ve hayvan türleri var. Yaşlanan türlerinse evrimsel olarak neden yaşlandıklarını ve yaşlanmanın moleküler mekanizmalarını açıklamaya çalışan, günümüze dek ortaya atılmış […]

İnsanın Ayak İzleri

09/29/2020
Geçen gün internette okuduğum bir makalenin sonunda yazarın ilginç bir notunu gördüm. Makalenin her bir sayfasını okurken neden olduğum muhtemel karbondioksit salınım miktarını yazıyordu. Bu arada, internetin dünyada en çok enerji tüketen altıncı ülkeninkine eşit bir karbon izi bıraktığını da öğrenmiş oldum. Meraklıları için makalenin adresi parantezin içinde (https://www.bbc.com/future/article/20200131-why-and-how-does-future-planet-count-carbon).  İklim değişikliği konusuna ilgim nedeniyle okunan […]

GÜNCEL YORUMLAR